NOIP初赛复习(六)模拟与高精度算法

什么是算法?

算法是一系列解决问题的清晰指令,也就是说,能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷,或不适合于某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

用数学量描述问题

计算机处理的是数学量。若要用计算机解决实际问题,需要把实际问题抽象为数学量,或者数字。比如,记事本把文字按 ASCII 码表转换为数字储存起来,极品飞车把赛车的性能表示为数字,来权衡赛车的好坏。一个漂亮的算法,需要用数学量表示出来。

任务:现有两个软件工程的制作任务,你的团队可以接手其中任意一个。现要在两个中选择一个,需要考虑制作成本,制作成功的可能性,可获得经济收益的多少,对你的团队知名度的影响等等因素。你如何量化地分析和解决这个问题?

提示:需要把每一项都转化为数值,必要时加入权值、计算期望。如果只考虑以上四个因素,可以得到以下数学式:

综合收益=制作成功的概率*[(可获得经济收益-制作成本)*经济效益的权值+团队知名度的影响*社会效益的权值]。

其中概率和两个权值是需要估计的值。

用图形描述问题

有时,我们需要用更直观的图形来描述实际问题。图论就是一个绝佳的方法。图是一种表示离散量间关系的形式,它也是一种思想,常被用于建模。同时,前人也为我们提供了很多现成的图论算法,能够解决很多常见问题,这些将在之后被提到。矩阵也是一种常见的方法。有时矩阵被表示成三角形的形式,比如“杨辉三角”。矩阵常常和数学有关,在计算机计算时常常利用矩阵的递推式。

模拟计算过程

模拟方法是最常见、最直接的算法构建方法。

任务:编程实现欧几里得算法(辗转相除法,求两个数的最大公约数 gcd(a,b))

提示:欧几里得算法原理:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),其图形描述如下:

1.  写下两个数

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2. 将两数相除,余数写在较大的数下面

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3. 将每列最下面的数相除,余数写在被除数下面

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4. 重复步骤3直至整除,此时最后写下的余数即为开始时两数的最大公约数

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这是一个简单的模拟算法,实际过程中,量间的关系往往比这复杂得多,因而,模拟算法可以是很复杂的。有些模拟算法还涉及到图形和其他复杂的数据结构,这需要我们熟练地运用语言,巧妙地把其他关系转化为数学量间关系。

模拟时的优化

如果处理不当,模拟方法写出的程序会非常长。这要求我们在模拟是将相似的步骤合为一体,适时利用函数简化程序。

以上面的欧几里得算法为例:

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这个实例主要体现模拟算法的简化过程。虽然在这样小的程序段中,这样的简化作用不大,但遇到复杂的模拟问题,这种利用相似性的简化便非常有用了。应当重视这样的代码优化。

高精度计算算法

由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿。如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数。因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算。

高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数。

如数:3485(三千四百八十五),表达在数组a[10]上情况是:

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具体在计算加减乘除时方法就是小学时采用的列竖式方法。
注:高精度计算时一般用正数,对于负数,通过处理符号位的修正。

高精度数的存储

1.如对数采用的字符串输入
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=100;//最多100位
int main()
{
int a[N+1],i;
string s1;
cin>>s1;//数s1
memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
a[0]=s1.length(); //位数
for(i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0';//将字符转为数字并倒序存储
return 0;
}

2. 直接读入
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100;//最多100位
int main()
{
int a[N+1],i,s,key;
cin>>key;//数key
memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
i=0;//第0位
while(key)  //当key大于0
{
a[++i]=key%10;//取第i位的数
key=key/10;
}
a[0]=i; //共i位数
return 0;
}

3.直接初始化(用a[]存储)
初始化为0: memset(a,0,sizeof(a));
初始化为1: memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;a[1]=1;

(以下程序都只写函数,不写完整程序,所有高精度数存储都满足上述约定。)

高精度数比较

int compare(int a[],int b[])   //比较a和b的大小关系,若a>b则为1,a<b则为-1,a=b则为0
{int i;
if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大
if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小
for(i=a[0];i>0;i--)  //从高位到低位比较
{if (a[i]>b[i])return 1;
if(a[i]<b[i]) return -1;}
return 0;//各位都相等则两数相等
}

高精度加法

int plus(int a[],int b[]) //计算a=a+b
{int i,k;
k=a[0]>b[0]?a[0]:b[0]; //k是a和b中位数最大的一个的位数
for(i=1;i<=k;i++)
{a[i+1]+=(a[i]+b[i])/10;  //若有进位,则先进位
a[i]=(a[i]+b[i])%10;}  //计算当前位数字,注意:这条语句与上一条不能交换
if(a[k+1]>0) a[0]=k+1;  //修正新的a的位数(a+b最多只能的一个进位)
elsea[0]=k;
return 0;
}

高精度减法

int gminus(int a[],int b[]);//计算a=a-b,返加符号位0:正数 1:负数
{ int flag,i
flag=compare(a,b); //调用比较函数判断大小
if (falg==0)//相等
{memset(a,0,sizeof(a));return0;}  //若a=b,则a=0,也可在return前加一句a[0]=1,表示是 1位数0
if(flag==1) //大于
{  for(i=1;i<=a[0];i++)
{  if(a[i]<b[i]){a[i+1]--;a[i]+=10;} //若不够减则向上借一位
a[i]=a[i]-b[i];}
while(a[a[0]]==0)a[0]--; //修正a的位数
return 0;}
if (flag==-1)//小于  则用a=b-a,返回-1
{for(i=1;i<=b[0];i++)
{  if(b[i]<a[i]){b[i+1]--;b[i]+=10;} //若不够减则向上借一位
a[i]=b[i]-a[i];}
a[0]=b[0];
while(a[a[0]]==0)a[0]--; //修正a的位数
return -1;}
}

高精度乘法(高精度乘单精度数,单精度数是指通常的整型数)

int multi1(int a[],long  key)//a=a*key,key是单精度数
{int i,k;
if (key==0){memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;return0;} //单独处理key=0
for(i=1;i<=a[0];i++)a[i]=a[i]*key;//先每位乘起来
for(i=1;i<=a[0];i++){a[i+1]+=a[i]/10;a[i]%=10;}//进位
//注意上一语句退出时i=a[0]+1
while(a[i]>0){a[i+1]=a[i]/10;a[i]=a[i]%10;i++;a[0]++];}  //继续处理超过原a[0]位数的进位,修正a的位数
return 0;
}

*文章为作者独立观点,不代表少儿编程网立场
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NOIP2017 作者
NOI官网发布了2017年全国青少年信息学奥林匹克联赛(NOIP2017)的报名通知。NOIP2017将于2017年10月及11月分别举行初赛和复赛,有意向参加比赛的考生,即日起至10月10日可报名。